4. Тяло, хвърлено под ъгъл

Тяло, хвърлено под ъгъл - върху такова тяло действа само земното ускорение

а) независимост на движението - движението на тялото може да се разпадне на движението му по оста $x$ и движението му по оста $y$ , защото едното не влияе на другото
- следва от факта, че векторното равенство
$r (t) = r_{0} + v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$

може да се разпадне на равенства между компонентите

$x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a _{x} t ^{2}}{2}$ $y (t) = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{a _{y} t ^{2}}{2}$

б) равномерно движение по оста $x$ - земното ускорение действа само по оста $y$ , следователно тялото се движи равномерно (без ускорение) по оста $x$

$v_{x} = v_{0} cos α = const$ $x = (v_{0} cos α) t$

б) равнопроменливо движение по оста $y$ - движението по оста $y$ е равнопромелниво, защото по тази ос на тялото действа константното земно ускороние с големина $g$

$v_{y} = v_{0} sin α - g t$

$y = (v_{0} sin α) t - \frac{1}{2} g t^{2}$
Уравнение на траекторията - движението по оста $y$ може да се изрази чрез движението по оста $x$ като се комбинират законите за движението по двете оси и се замести $t = \frac{x}{v _{0} c o s α}$

$y = x tan α - (\frac{g}{2 v _{0} cos ^{2} α}) x^{2}$

а) изминато разстояние

$L = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}$
- оптимален ъгъл за хвърляне на най-далечно разстояние: $α = 45°$
Доказателство: Изминатото разстояние е $x$ -координатата, когато тялото отново се намира на $y = 0$ . Намираме момента, в което това става:

$0 = (v_{0} sin α) t - \frac{1}{2} g t^{2}$

$t = \frac{2 v _{0} sin α}{g}$

Заместваме в уравнението за $x$ :

$x = \frac{2 v _{0} sin α}{g} v_{0} cos α = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}$

Този израз има максимална стойност при $sin 2 α = 1$ , което означава, че за максимално изминато разстояние, ъгълът $α$ трябва да е 45°.

б) максимална височина - при максималната височина тялото има нулева $v_{y}$ , защото обръща посоката си - вече започва да пада надолу

$y_{max} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}$

School